문과생도 이해하는 삼각함수의 원리

* 본 포스팅은 삼각함수에 대한 문헌을 바탕으로 개인적으로 정리한 내용입니다

삼각함수의 등장

삼각법의 아버지라고 불리는 히파르쿠스는 원의 점과 점 사이를 연결한 현과 각 사이의 관계를 정리하여 현표라는 것을 만들었습니다. 히파르쿠스는  지구와 달의 거리를 계산하는 과정에서 이를 이용하기 위해 만들었다고 합니다.

(그림 출처: http://suhak.tistory.com/167)

이후 여러 수학자들에 의해 삼각법과 삼각함수가 발달하게 되었고, 지금의 우리가 아는 형태의 sin, cos에 까지 이어지게 되었습니다.

원 안의 직각삼각형

삼각함수는 원 안에 있는 직각 삼각형의 변 길이의 비율을 다루는 것으로, 간단히는 직각 삼각형의 한 각에 따라서

변의 길이가 어떻게 달라지는지 보여주는 것으로 이해해도 될 것입니다.

이해를 쉽게 하기 위해 먼저 빗변의 길이가 다 1로 동일하고 각도가 다른 삼각형들을 보여드리겠습니다.

보시면 각도가 15도에서 30도, 45도, 60도로 커질수록 세로 (높이) 의 길이가 점점 길어지시는 것을 보실 수 있습니다.

이것을 선으로 이어보면 이런 그림이 만들어지는 것입니다!

(sine function graph 출처: https://www.quora.com/What-is-the-sine-of-an-angle)

각도가 커지면 세로가 길어지면서 점점 올라가는 그래프의 모양을 이루는 것입니다!

그래프의 시작인 x가 0일때는 y값도 0임을 알 수 있는데, 각도가 너무 작아지다가 0이되면 (위의 삼각형 그림들을 보면서 상상해보세요) 삼각형이 아예 소멸해버리니 세로값이 0이 되는 것입니다. 반대로 각도가 90인 경우 (바로 위 그래프에서는 π/2 지점) 삼각형의 각도가 점점 커지다가 90도가 되어버리면 삼각형이 좁아지다못해 빗변과 세로가 합쳐져 버리는 모양이 됩니다. 그냥 | 이런 선으로 변하니까 길이가 1이 되는 것입니다.

그러면 90도를 넘는 경우는 어떻게 될까요?

사실 90도를 넘으면 더이상 직각 삼각형을 만들 수가 없고 둔각삼각형이 되죠. 대신 여전히 삼각형의 높이는 다음과 같이 볼 수 있습니다.

각이 점점 커질수록 이번엔 반대로 세로 (높이) 의 길이가 점점 짧아집니다!!!

여기까지를 그림에 표현하면 다음과 같이 됩니다.

(sine function graph 출처: https://www.quora.com/What-is-the-sine-of-an-angle)

그러다가 180도가 되면 높이가 다시 내려가다가 삼각형이 없어져버려서 높이가 또다시 0이 되는 지점이 생깁니다.

그 0이 되는 지점을 지나면, 180도보다 각이 더 커지게 되면 다시 삼각형의 높이가 음의 방향으로 커지게 됩니다.

사실 한 각이 180도보다 커져버리면 더 이상 삼각형이 안 되죠. 어쩔수 없이 아래의 높이로 그려보겠습니다.

다시 높이가 점점 커지는 것을 보실 수 있습니다!

이제 이것을 원 안에 표현하면,

각의 크기가 커질수록 높이가 증가하다가,

다시 90도를 넘어가면 각의 크기가 커질수록 높이가 감소합니다.

이렇게 우리가 아는 사인그래프가 쭉 그려지게 되고, 코사인의 경우도 비슷하게 볼 수 있습니다.

코사인은 원 안의 직각삼각형의 가로 (밑변) 의 길이에 따른 변화를 보여줍니다.

아까의 그림에서 이번에는 세로가 아닌 아래 가로 길이에 초점을 맞춰서 봐주시면 됩니다.

90도를 넘어가면?

밑변이 점점 증가하는 것을 알 수 있습니다. (진한 초록색 삼각형의 밑변에서 옅은 초록색 삼각형의 밑변으로 변화하는 길이를 봐주시면 됩니다.)

 그래서 사인과 코사인은 이렇게 생긴 형태의 그래프를 얻게 되는 것입니다.

(그림 출처: https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-inverse-sin-cos-tan.html)

간단히 말하면,

sin(x) 혹은 사인 함수는 x에 각도를 주면 그 때의 높이의 길이를 알려주는 함수로, 위의 노란 선 그래프를 보시면 아까 봤듯이 각도가 0도인 삼각형의 높이의 길이는 0이 되고, 각도가 90에 점점 가까워질수록 높이가 높아집니다. 그리고 90을 넘어 둔각삼각형이 되면 높이가 다시 짧아집니다.

cos(x) 혹은 코사인 함수는 x에 각도를 넣어주면 그 때의 밑변의 길이를 알려주는 함수로, 위의 파란 선 그래프를 보시면 삼각형의 각도가 0에 가까운 값에서 점점 커지면 밑변의 길이는 점점 짧아집니다. 하지만 90도를 넘은 둔각삼각형이 되면 다시 밑변의 길이가 길어지게 됩니다.

그 이후의 사인 함수와 코사인 함수의 그림은 원 안에 직접 삼각형을 그려보시면 높이와 밑변 길이의 변화를 확인하실 수 있을 것입니다.

위에서 설명을 쉽게 하고자 sin값은 = 높이의 길이이고, cos값은 = 밑변의 길이라고 했지만, 엄밀히 말하면 sin값은 높이의 길이가 아니라 빗변과 높이 사이에서 얻어진 비율입니다. 그것은 아래에서 또 보여드리겠습니다.

삼각함수 비

다음과 같은 삼각형이 있다고 하겠습니다. 

이 삼각형에서 빗변 b를 2배로 늘리면 가로 a와 세로 c는 어떻게 될까요?

정답은 가로와 세로도 함께 2배가 된다입니다!

그림에서 볼 수 있듯이 각도 θ는 변하지 않습니다.

세 변의 길이의 비가 a : b : c에서 2a: 2b: 2c로 변했지만, 길이의 비도 각도도 변하지 않습니다.

각도가 정해진다는 것은 변의 길이에 상관없이 변들의 관계가 정해진다는 것을 의미하게 됩니다. 

제가 아까 sin(x) 의 결과값을 직각삼각형의 높이로 설명했는데,

그 때 모든 삼각형의 빗변을 다 1로 정해두었습니다. (원 안에 넣기 위해서 반지름 길이인 1을 미리 맞춰준 것이기도 합니다)

아까는 원의 반지름이 1이었기 때문에 그렇게 계산해도 아무 문제가 없었지만, 원의 반지름이 1이 아니라면 어떨까요? 똑같은 각도이지만 반지름이 2로 늘어난다면 높이도 2로 늘어나게 될 것입니다. 그러면 사인함수의 결과 그래프를 다시 그려본다면 이런 식으로 그려질 것입니다.

(그림 출처: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680/Dunbar/Assignment1/sine_curves_KD.html)

최고 높이가 2가 되는 것입니다. 그러면 아직까지는 굳이 sin이 높이/빗변일 필요가 없고 높이이면 되는 것 아닌가 하는 생각이 여전히 있을 수 있습니다. 

하지만 우리가 필요한 것은 언제나 어떤 상황에서든 정해진 기능을 해줄 "함수"입니다. 함수는 보통 자판기에 많이 비유를 하는데요, 자판기에서 우리가 원하는 음료수 버튼을 누르면 해당 음료수가 나옵니다. 버튼을 누를 때마다 음료수는 하나씩 나오고, 자판기가 고장나지 않는 한 이상한 음료수가 잘못 나오는 경우도 없습니다. 

(개별 사진 출처: https://pixabay.com/)

sin(x) 함수에게 우리가 기대하는 역할도 그렇습니다. 정해진 각도를 자판기 버튼으로 눌러주었을 때, 그 때의 삼각형의 높이는 어느 정도 크기일 것인지를 알려줘야 하는 것입니다. 그런데 아까는 각도가 90도가 들어가면 1의 값이 나왔는데, 지금은 각도가 90도가 들어가면 2의 값이 나오게 됩니다. 그러면 고장난 자판기가 될 수밖에 없습니다! 음료수가 랜덤으로 나오는 자판기가 되는 것이죠.

이처럼 삼각형마다 각도는 같더라도 변의 길이는 천차만별이기 때문에 이것을 하나로 통일해줄 필요가 있습니다.

그 기준이 빗변을 1로 잡은 원 안에 있는 삼각형이 되는 것입니다!

빗변의 길이가 1인 삼각형도, 빗변의 길이가 2인 삼각형도 다 같은 sin(x)를 뱉어주기 위해서는 그 관계를 다 통일해주어야 하는 것입니다. 그 통일 기준은 빗변을 1로 만드는 것이구요! 그래서 지금 우리가 가지고 있는 삼각형의 변의 길이가 2a, 2b, 2c라고 가정을 할 때, 이것의 빗변을 1로 만들려면?

a : b : c가 2a : 2b : 2c 와 같은 각도를 가진 삼각형이니, 양 변에 똑같은 값을 곱하거나 나눠서 그 관계를 만들 수가 있습니다. 그러면 빗변 2b를 1로 만들어주기 위해서는 모든 변에 2b를 나눠주면 됩니다.

2a/2b : 2b/2b : 2c/2b가 되는데, 2b/2b = 1 이고, 위 아래 2가 있는 것들은 분수의 약분이 되므로

최종적으로 a/b : 1 : c/b가 얻어집니다.

삼각형의 길이가 a : b : c였든, 2a: 2b : 2c였든, 5a : 5b : 5c 였든 상관없이 결과는 다 a/b : 1 : c/b와 같아질 것입니다. 아까 sin을 얻을 때 설명이었던 빗변의 길이가 1일 때의 삼각형의 높이! 그것은 a/b 측 높이/빗변이 됩니다. 반면에 cos을 얻기 위한 빗변의 길이가 1일 때의 삼각형의 밑변!은 c/b 이므로 밑변/빗변이 됩니다. 

삼각함수의 활용

그렇다면 왜 이렇게까지 통일을 해서 sin(x)라는 함수와 cos(x)라는 함수를 만들어두어야 하는 걸까요? (tan(x)와 다른 삼각함수도 더 있지만, 이번 포스팅에는 아예 그림을 첨부하지 않아서 언급하지 않았습니다.)

삼각함수의 물결치는 그래프에서 보실 수 있듯이, 삼각함수는 이러한 물결 형태의 정보, 오르락 내리락 하는 것들을 나타내는데 좋은 역할을 합니다. 물결 형태의 정보는 지진이 시간마다 얼마나 크게 치는지를 기록해서 보는 지진파 그래프 같은 것이 있을 것이고, 병원에서 흔히 보는 시간당 심장 박동의 모습 같은 것도 보실 수 있을 것입니다.

(지진파 그림 출처: http://study.zum.com/book/12755)

(심전도 그림 출처: https://pixabay.com/)

물결 형태의 정보는 굉장히 많습니다. 우리가 자는 동안 우리 몸에서 나오는 수면 뇌파, 우리가 말할 때 나오는 소리를 보여주는 음성 데이터도 있지요. 삼각함수가 없었다면, 이 파형들을 표현하는 그림을 그리기도 어려웠을 것이고, 지금 이 사람이 어떤 상태인지, 이 환경이 어떤 상태인지를 수학적인 값으로 표현하기도 어려웠을 것입니다.

마무리

여기까지 삼각함수의 기초적인 내용에 대해서 설명해보았는데, 제가 그동안 배운 내용과 교재, 논문을 바탕으로 정리한 내용이라 잘못된 부분이 많을 수 있습니다. 특히 그림과 관련된 부분에는 직접 그리다 보니 잘못 표현된 부분이 있을 수 있습니다. 혹시라도 잘못된 부분을 발견하면 지속적으로 수정해나가겠습니다. 이는 삼각함수가 정말 막막해서 어디서 어떻게 건드려야할지 모르는 분들을 위해 작성하였습니다. 조금이라도 도움이 되셨기를 바랍니다.

참고문헌

(1) 수학으로 배우는 파동의 법칙 (Transnational College of LEX 지음)
https://book.naver.com/bookdb/book_detail.nhn?bid=6278863

(2) 수학학습 흥미 유발을 위한 수학사 및 실생활 문제 - 고등학교 삼각함수 중심으로 - 
https://dspace.inha.ac.kr/bitstream/10505/3790/1/4981.pdf

그림 자료

삼각함수 이해 정리.pptx